Наближений розв’язок задачi оптимального керування диференцiальним включенням зi швидкоколивними коефiцiєнтам

Розглядається задача оптимального керування зi швидкоосцилюючими змiнними, лiнiй на за керуванням. При цьому об’єктом керування виступає диференцiальне включення з Лiпшицевою за фазовою змiнною багатозначною правою частиною. Багатозначнiсть породжує свої специфiчнi проблеми, такi як замкненiсть, опуклiсть сiм’ї розв’язкiв, iснування граничних розв’язкiв, видiлення розв’язкiв iз заданими властивостями тощо. Проте добре розвинений апарат математичного аналiзу, що застосовуються до дослi дження багатозначних функцiй дає можливiсть застосування методу усереднення до описаної вище задачi оптимального керування. У роботi доведено збiжнiсть оптимальних керувань i оптимальних траєкторiй розв’язкiв точної задачi до оптимального керування i траєкторiї усередненої задачi. При цьому також обгрунтовано, що оптимальне керування усередненої задачi є “майже оптимальним” для точної задачi, тобто з точнiстю до малого параметру 𝜀 реалiзується мiнiмум критерiю якостi.
Рассматривается задача оптимального управления из быстроосцилируемыми переменными, линейная по управлению. При этом объектом управления служит дифференциальное включение из Липшицевой по фазовой переменной многозначной правой частью. Многозначность порождает свои специфические проблемы, такие как замкнутость, опуклость семейства решений, существование граничных решений, выделения решений из заданными свойствами и т.п. Но хорошо развитый апарат математического анализа, который, который применяется к исследованию многозначных функций дает возможность применения метода усреднения к описаной выше задаче оптимального управления. В работе доказана сходимость оптимальных управлений и оптимальных траекторий решений точной задачи к оптимальному управлению и траеетории усредненной задачи. При этом также обосновано, что оптимальное управление усредненной задачи есть “почти оптимальным” для точной задачи, то есть с точностью к малому параметру 𝜀 реализуется минимум критерия качества.
We consider the optimal control problem with fast oscillating variables, which is linear by control. At that we consider the differential inclusion with Lipschitz by phase variable multi-valued right hand side as an object of control. Muli-valued aspect generetes its spe cific difficulties such as closedness, convexity of family of solutions, existence of boundary solutions, highlighting of solutions with given properties etc. However, well developed apara tus of mathematical analysis which can be applied to investigation of multi-valued functions allows us to apply the averaging method to upper mentioned optimal control problem. In the paper we prove the convergence of optimal controls and optimal trajectories of solutions of initial exact problem to optimal control and trajectory of averaged problem. We also justify that optimal control of averaged problem is “almost optimal” for initial exact problem, i.e. within a small parameter 𝜀 the minimum of quality criterium can be realized.

Ключові слова

задача оптимального керування, диференцiальне включення, малий параметр, метод усереднення, задача оптимального управления, дифференциальное включение, малый параметр, метод усреднения, optimal control problem, differential inclusion, small parameter, averaging method

Бібліографічний опис

Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics