Итерационный алгоритм вычисления собственных значений и собственных функций задачи Штурма–Лиувилля
Дата
2018
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
ISSN
E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
Предложен итерационный алгоритм вычисления 𝑖-го собственного значения (с. з.) и
соответствующей собственной функции (с. ф.) задачи Штурма—Лиувилля на конечном
интервале. Алгоритм использует известные асимптотические формулы для с. з. и с. ф.
задачи Штурма—Лиувилля. Каждая итерация алгоритма требует решения краевой задачи
для дифференциального уравнения второго порядка. Левая часть этого уравнения
является дифференциальным оператором левой части уравнения Штурма—Лиувилля
с некоторым сдвигом, а правая — приближением к искомой с. ф. Приведен пример, в
котором упомянутая краевая задача решалась методом конечных элементов с тригонометрическими
функциями-крышками, определенными на равномерной сетке. В этом
примере предложенный алгоритм фактически сводится к итерационному алгоритму
определения 𝑖-го с. з. конечно-элементной аппроксимации задачи Штурма—Лиувилля,
являющейся обобщенной матричной задачей на с. з., только 𝑖-е с. з. которой приближает
с. з. исходной задачи.
Запропоновано iтерацiйний алгоритм обчислення 𝑖-го власного значення (в. з.) i вiдповiдної власної функцiї (в. ф.) задачi Штурма—Лiувiлля на скiнченному iнтервалi. Алгоритм використовує вiдомi асимптотичнi формули для в. з. i в. ф. задачi Штурма— Лiувiлля. Кожна iтерацiя алгоритму вимагає розв’язання крайової задачi для диференцiального рiвняння другого порядку. Лiва частина цього рiвняння є диференцiальним оператором лiвої частини рiвняння Штурма—Лiувiлля з деяким зсувом, а права — наближенням до шуканої в. ф. Наведено приклад, в якому згадана крайова задача вирiшувалася методом скiнченних елементiв з тригонометричними функцiями-кришками, визначеними на рiвномiрнiй сiтцi. У цьому прикладi запропонований алгоритм фактично зводиться до iтерацiйного алгоритму визначення 𝑖-го в. з. скiнченно-елементної апроксимацiї задачi Штурма—Лiувiлля, що є узагальненою матричною задачею на в. з., тiльки 𝑖-е в. з. якої наближає в. з. вихiдної задачi.
An iterative algorithm for computing the 𝑖-th eigenvalue (e. v.) and the corresponding eigenfunction (e. f.) of the Sturm–Liouville problem on a finite interval is proposed. The algorithm uses the well-known asymptotic formulas for e. v and e. f. of the Sturm–Liouville problem. Each iteration of the algorithm requires the solution of the boundary value problem for a second-order differential equation. The left-hand side of this equation is the differential operator of the left-hand side of the Sturm–Liouville equation with some shift, and the righthand side is an approximation to the desired e. f. An example is given in which the boundary value problem was solved by the finite elements method with trigonometric hat functions, defined on a uniform mesh. In this example, the proposed algorithm actually reduces to an iterative algorithm for determining the 𝑖-th e. v. of a finite-element approximation of the Sturm–Liouville problem, which is a generalized matrix problem on an eigenvalue, only the 𝑖-th e. v. of which approximates e. v. of the original problem.
Запропоновано iтерацiйний алгоритм обчислення 𝑖-го власного значення (в. з.) i вiдповiдної власної функцiї (в. ф.) задачi Штурма—Лiувiлля на скiнченному iнтервалi. Алгоритм використовує вiдомi асимптотичнi формули для в. з. i в. ф. задачi Штурма— Лiувiлля. Кожна iтерацiя алгоритму вимагає розв’язання крайової задачi для диференцiального рiвняння другого порядку. Лiва частина цього рiвняння є диференцiальним оператором лiвої частини рiвняння Штурма—Лiувiлля з деяким зсувом, а права — наближенням до шуканої в. ф. Наведено приклад, в якому згадана крайова задача вирiшувалася методом скiнченних елементiв з тригонометричними функцiями-кришками, визначеними на рiвномiрнiй сiтцi. У цьому прикладi запропонований алгоритм фактично зводиться до iтерацiйного алгоритму визначення 𝑖-го в. з. скiнченно-елементної апроксимацiї задачi Штурма—Лiувiлля, що є узагальненою матричною задачею на в. з., тiльки 𝑖-е в. з. якої наближає в. з. вихiдної задачi.
An iterative algorithm for computing the 𝑖-th eigenvalue (e. v.) and the corresponding eigenfunction (e. f.) of the Sturm–Liouville problem on a finite interval is proposed. The algorithm uses the well-known asymptotic formulas for e. v and e. f. of the Sturm–Liouville problem. Each iteration of the algorithm requires the solution of the boundary value problem for a second-order differential equation. The left-hand side of this equation is the differential operator of the left-hand side of the Sturm–Liouville equation with some shift, and the righthand side is an approximation to the desired e. f. An example is given in which the boundary value problem was solved by the finite elements method with trigonometric hat functions, defined on a uniform mesh. In this example, the proposed algorithm actually reduces to an iterative algorithm for determining the 𝑖-th e. v. of a finite-element approximation of the Sturm–Liouville problem, which is a generalized matrix problem on an eigenvalue, only the 𝑖-th e. v. of which approximates e. v. of the original problem.
Опис
Ключові слова
задача Штурма—Лиувилля, собственное значение, асимптотические формулы для собственных значений, метод конечных элементов, задача Штурма—Лiувiлля, власне значення, асимптотичнi формули для власних значень, метод скiнченних елементiв, Sturm–Liouville problem, eigenvalue, asymptotic formulas for eigenvalues, finite element method
Бібліографічний опис
Дослiдження в математицi i механiцi