Відображення псевдоріманових просторів з напівсиметричною афінорною структурою
Альтернативна назва
Mappings of pseudo-Riemannian spaces with semi-symmetric affinor structure
Вантажиться...
Дата
2024
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
ISSN
2519-206X
E-ISSN
Назва тому
Видавець
Астропринт
Анотація
Робота складається з двох частин. У першій частині з використанням тензора деформації зв’язності розглянуто загальні геометричні властивості нетривіальних відображень між двома просторами афінної зв’язності без скруту. Побудовано геометричний об’єкт, що позначає різницю коваріантних похідних довільного тензора за зв’язностями простора, на яке відбувається відображення та його прообраз, яка суттєво залежить лише від згорток самого тензора та тензора деформації. Як наслідок, отримана залежність різниці коваріантних похідних тензора деформації за двома різними зв’язностями просторів, між якими відбувається відображення, яка виражається через згортки тензора деформації з самим собою. Продовжуючи ідею дослідження загальних властивостей відображень, введено в розгляд чотиривалентний тензор, що визначає різницю тензорів Рімана просторів, які залучено у відображення, та двовалентний тензор, що визначає різницю тензорів Річчі цих просторів. Отримано вираз через диференційно-алгебраїчні доданки тензора деформації цих двох тензорів.
У другій частині розглянуто псевдоріманові простори, які наділено антисиметричною майже комплексною напівсиметричною афінорною структурою, досліджено властивості довільних тензорів у цих просторах загалом та зокрема афінора, що визначає структуру. Далі, було приділено увагу п’яти спеціальним відображенням таких просторів окремо та доведено, що лише тензор деформації, що визначає відображення першого типу, відмінний від нульового тензора. Доведено, що якщо простори, що розглядаються, допускають відображення першого типу, то це K-простори. Для відображень першого типу побудовані геометричні об’єкти, що пов’язують коваріантні похідні цих двох просторів, як у першій частині роботи, для цих об’єктів отримано вираз через афінор та його згортки. Враховуючи напівсиметричність афінорної структури побудовано чотиривалентний геометричний об’єкт як альтернування коваріантної похідної тензора деформації, що згорнуто з афінором, який при відображенні стає від’ємним зі зміною послідовності індексів.
Дослідження ведуться локально, тензорними методами без обмежень на сигнатуру та знаковизначенність метричного тензору простору, що розглядається. В роботі широко застосовується спеціальна операція (спряження), що введена для просторів, які наділено афінорною структурою, та її властивості для тензорів Рімана та Річчі.
The work consists of two parts. In the first part, using the deformation tensor of the connection, the general geometric properties of nontrivial mappings between two affine connection spaces without torsion are considered. A geometric object is constructed that represents the difference of the covariant derivatives of an arbitrary tensor with respect to the connections of the target space and its preimage. This object essentially depends only on the contractions of the tensor itself and the deformation tensor. As a consequence, a relation is obtained for the difference of the covariant derivatives of the deformation tensor with respect to the two different connections of the spaces involved in the mapping, which is expressed through the contractions of the deformation tensor with itself. Continuing the idea of studying the general properties of mappings, a four-valent tensor is introduced that characterizes the difference between the Riemann tensors of the spaces under consideration, as well as a two-valent tensor that characterizes the difference between their Ricci tensors. Explicit expressions for these two tensors are obtained in terms of differential-algebraic terms of the deformation tensor. In the second part, pseudo-Riemannian spaces endowed with an antisymmetric almost complex semi-symmetric affinor structure are studied. The properties of arbitrary tensors in these spaces are investigated in general, and in particular, the affinor that defines the structure. Further, five special mappings of such spaces are examined individually, and it is shown that only the deformation tensor defining a mapping of the first type is nonzero. It is proven that if the spaces under consideration admit mappings of the first type, then they are K-spaces. For first-type mappings, geometric objects are constructed that relate the covariant derivatives of the two spaces, similar to the first part of the work; for these objects, explicit expressions are obtained in terms of the affinor and its contractions. Taking into account the semi-symmetry of the affinor structure, a four-valent geometric object is constructed as the alternation of the covariant derivative of the deformation tensor contracted with the affinor. Under the mapping, this object becomes negative when the sequence of indices is permuted. The research is carried out locally, using tensor methods without restrictions on the signature or definiteness of the metric tensor of the space under consideration. A special operation (conjugation), introduced for spaces endowed with an affinor structure, is widely applied, and its properties with respect to the Riemann and Ricci tensors are studied.
The work consists of two parts. In the first part, using the deformation tensor of the connection, the general geometric properties of nontrivial mappings between two affine connection spaces without torsion are considered. A geometric object is constructed that represents the difference of the covariant derivatives of an arbitrary tensor with respect to the connections of the target space and its preimage. This object essentially depends only on the contractions of the tensor itself and the deformation tensor. As a consequence, a relation is obtained for the difference of the covariant derivatives of the deformation tensor with respect to the two different connections of the spaces involved in the mapping, which is expressed through the contractions of the deformation tensor with itself. Continuing the idea of studying the general properties of mappings, a four-valent tensor is introduced that characterizes the difference between the Riemann tensors of the spaces under consideration, as well as a two-valent tensor that characterizes the difference between their Ricci tensors. Explicit expressions for these two tensors are obtained in terms of differential-algebraic terms of the deformation tensor. In the second part, pseudo-Riemannian spaces endowed with an antisymmetric almost complex semi-symmetric affinor structure are studied. The properties of arbitrary tensors in these spaces are investigated in general, and in particular, the affinor that defines the structure. Further, five special mappings of such spaces are examined individually, and it is shown that only the deformation tensor defining a mapping of the first type is nonzero. It is proven that if the spaces under consideration admit mappings of the first type, then they are K-spaces. For first-type mappings, geometric objects are constructed that relate the covariant derivatives of the two spaces, similar to the first part of the work; for these objects, explicit expressions are obtained in terms of the affinor and its contractions. Taking into account the semi-symmetry of the affinor structure, a four-valent geometric object is constructed as the alternation of the covariant derivative of the deformation tensor contracted with the affinor. Under the mapping, this object becomes negative when the sequence of indices is permuted. The research is carried out locally, using tensor methods without restrictions on the signature or definiteness of the metric tensor of the space under consideration. A special operation (conjugation), introduced for spaces endowed with an affinor structure, is widely applied, and its properties with respect to the Riemann and Ricci tensors are studied.
Опис
Ключові слова
рімановий простір, псевдорімановий простір, тензор Рімана, тензор Річчі, відображення просторів, тензор деформації, простори афінної зв’язності, коваріантна похідна, афінор, афінорна структура, напівсиметрична афінорна структура, антисиметрична афінорна структура, майже комплексна афінорна структура, операція спряження, K-простір, геометричний об’єкт, Riemannian space, pseudo-Riemannian space, Riemann tensor, Ricci tensor, mapping of spaces, deformation tensor, affine connection spaces, covariant derivative, affinor, affinor structure, semi-symmetric affinor structure, antisymmetric affinor structure, almost complex space, conjugation operation, K-space, geometric object
Бібліографічний опис
Соловйов А. А. Відображення псевдоріманових просторів з напівсиметричною афінорною структурою / А. А. Соловйов // Дослідження в математиці і механіці. – 2024. – Т. 29, вип. 1(43). – С. 14–33.
УДК
514.07