Асимтотична поведінка розв’язків систем диференціальних рівнянь
Вантажиться...
Файли
Дата
2024
Автори
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
ISSN
E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
Системи диференціальних рівнянь відіграють ключову роль у математичному моделюванні багатьох явищ і процесів у природничих науках, техніці, економіці та біології. Вони використовуються для опису динамічних систем, таких як рух тіл у фізиці, популяційні моделі в біології, економічні процеси та електричні ланцюги в інженерії. Однак, не завжди можливо отримати точний розв'язок цих рівнянь для будь-якого моменту часу. Тому вивчення асимптотичної поведінки розв'язків є важливим, оскільки дозволяє зрозуміти, як система поводиться за великих значень часу або за певних граничних умов.
Вивчення асимптотичної поведінки має велике практичне значення, оскільки часто цікавить не сам точний розв'язок на кожному кроці, а те, до чого система прагне у майбутньому. Наприклад, в економіці можна вивчати довготривалі наслідки введення певної політики, в фізиці – поведінку частинок у нескінченному часі, в екології – динаміку популяцій через кілька поколінь. Аналіз асимптотичних розв'язків дозволяє прогнозувати стійкість систем, виявляти можливі коливання або хаотичні режими, а також будувати стратегії керування процесами.
Сьогодні існує безліч підходів до вивчення асимптотичної поведінки, серед яких методи Ляпунова, Пуанкаре, метод середніх та пертурбаційні методи. Ці інструменти дозволяють розв'язувати широкий спектр завдань, пов'язаних із нелінійними і лінійними системами, і показують високу ефективність при аналізі реальних процесів. Тому детальне вивчення цієї теми є необхідним для подальшого розвитку теоретичної та прикладної математики.
Основною метою цієї дипломної роботи є аналіз методів вивчення асимптотичної поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь, а також застосування цих методів для різних типів систем. Зокрема, дослідження буде зосереджене на таких питаннях, як стійкість розв'язків, наближені методи для нелінійних систем, а також знаходження асимптотичних розв'язків у прикладних задачах.
Для досягнення мети дипломної роботи необхідно вирішити такі завдання:
Дослідити основні підходи до аналізу асимптотичної поведінки розв'язків систем диференціальних рівнянь.
Розглянути та описати основні теореми стійкості і критерії для визначення асимптотичних властивостей систем.
Застосувати методи Ляпунова для вивчення асимптотичної поведінки нелінійних систем.
Провести аналіз прикладів реальних систем із застосуванням методу середніх.
Об'єктом дослідження є системи диференціальних рівнянь, які використовуються для опису динамічних систем у різних галузях науки. Особлива увага буде приділена нелінійним системам, оскільки їхня поведінка значно складніша для аналізу, ніж у лінійних систем.
У роботі будуть використовуватися такі основні методи:
Метод Ляпунова для аналізу стійкості та асимптотичної поведінки.
Метод середніх для нелінійних систем і періодичних розв'язків.
Опис
Ключові слова
111 математика, магістр, диференціальні рівняння, розв’язки систем, асимтотична поведінка
Бібліографічний опис
Баєва, К. О. Асимтотична поведінка розв’язків систем диференціальних рівнянь = Asymptotic behaviour of solutions of systems of differential equations: кваліфікаційна робота магістра / К. О. Баєва. – Одеса, 2024. – 34 с.