Асимптотичне інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь вищих порядків
Альтернативна назва
Asymptotic integration of nonlinear differential equations of higher orders
Дата
2024
Автори
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
ISSN
E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
Один із напрямків теорії нелінійних диференціальних рівнянь пов’язаний з рівняннями виду
𝒚" = ±𝒕⍺𝒚Ʃ 0.1
Такі рівняння вперше з’являються в астрофізичних дослідженнях Р. Емдена, присвячених розподілу зіркової речовини в зірках, що проводилося наприкінці ХІХ століття.
На початку ХХ століття , такого виду рівняння виникають в роботах Л. Томаса та Е. Фермі в ядерній фізиці. Надалі вони виникають в газовій динаміці, механіці рідини та багатьох інших галузях природознавства. Асимптотична поведінка розв’язків таких рівнянь було детально досліджено на початку ХХ століття в роботах Р. Фаулера. Після цього воно отримало назву рівняння Емдена-Фаулера. При цьому з’ясувалось, що рівняння може мати велику кількість розв’язків. Це створило передумови введення класифікації всіх можливих типів продовжуємих і непродовжуємих розв’язків у нелінійних диференціальних рівняннях вищих порядків загального виду. Зокрема були введені правильні та сингулярні І і ІІ роду розв’язки та дана класифікація диференціальних рівнянь за їх коливними та неколивними властивостями. Серед вказаних розв’зків значне місце займають сингулярні розв’язки ІІ роду. До таких розв’язків відносяться розв’язки, що мають вертикальну асимптоту. На практиці їх називають «вибуховими» розв’язки. Їх наявність унеможливлює застосування численних методів для встановлення наближеної поведінки процесу, який описують такі рівняння.
Дана магістерська робота присвячена встановленню властивості сингулярних розв’язків ІІ роду деяких класів диференційних рівнянь другого порядку.
Робота складається зі вступу, ІІІ-х розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 8 пунктів.
У першому розділі для системи звичайних диференційних рівнянь, записаної в нормальній формі Коші, вводяться означення продовжуємих та непродовжуємих розв’язків локальної задачі Коші, встановлюється критерій непродовжуємості розв’язків задачі Коші, отримується теорема про існування непродовжуваємих розв’язків, а також відома теорема Уінтнера про умови визначення непродовжуємого розв’язку на всьому проміжку де змінюється незалежна змінна t.
У другому розділі для нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку дається класифікація всіх можливих типів розв’язків таких рівнянь.
У третьому розділі формулюються відомі теорему І.Т. Кігурадзе про існування та відсутність у диференційних рівнянь типу Емдена-Фаулера сингулярних розв’язків ІІ роду.
Наступних два параграфа є основними.
Опис
Ключові слова
111 математика, магістр, асимптотичне інтегрування, нелінійних диференціальні рівняння, задача Коші, теорема Уінтнера
Бібліографічний опис
Дротченко, Д. О. Асимптотичне інтегрування нелінійних диференціальних рівнянь вищих порядків = Generalized analogues of the Yano-Westlake theorem in the theory of geodesic mappings of almost complex spaces: кваліфікаційна робота магістра / Д. О. Дротченко. – Одеса, 2024. – 40 с.