Fugelo, P.Varbanets, Serhii P.Фугело, П.Варбанець, Сергій ПавловичВарбанец, Сергей Павлович2021-08-122021-08-122020Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanicshttps://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/31473Let 𝑝 be a prime number, 𝑑 ∈ N, (︁ −𝑑 𝑝 )︁ = −1, 𝑚 > 2, and let 𝐸𝑚 denotes the set of of residue classes modulo 𝑝𝑚 over the ring of Gaussian integers in imaginary quadratic field Q( √ −𝑑) with norms which are congruented with 1 modulo 𝑝𝑚. In present paper we establish the polynomial representations for real and imagimary parts of the powers of generating element 𝑢+𝑖𝑣 √ 𝑑 of the cyclic group 𝐸𝑚. These representations permit to deduce the “rooted bounds” for the exponential sum in Turan-Erd¨os-Koksma inequality. The new family of the sequences of pseudo-random numbers that passes the serial test on pseudorandomness was being buit. MSC: 11L07, 11T23, 11T71, 11K45.Нехай 𝑝 — просте число, 𝑑 ∈ N, (︁ −𝑑 𝑝 )︁ = −1, 𝑚 > 2, i нехай 𝐸𝑚 позначає множину класiв лишкiв за модулем 𝑝𝑚 над кiльцем цiлих гаусових чисел в уявному квадратичному полi Q( √ −𝑑) з нормами, що дорiвнюють 1 за модулем 𝑝𝑚. В данiй статтi ми отримуємо полiномiальнi зображення для дiйсної та уявної частин степенiв породжуючого елементу 𝑢 + 𝑖𝑣 √ 𝑑 циклiчної групи 𝐸𝑚. Цi зображення дозволяють отримати “кореневi границi” експоненцiйної суми в нерiвностi Турана-Ердьоша-Коксми. Також було побудовано нове сiмейство послiдовностей псевдовипадкових чисел, що проходять серiальний тест на псевдовипадковiсть.Пусть 𝑝 — простое число, 𝑑 ∈ N, (︁ −𝑑 𝑝 )︁ = −1, 𝑚 > 2, и пусть 𝐸𝑚 обозначает множество классов вычетов по модулю 𝑝𝑚 над кольцом целых гауссовых чисел в мнивом квадратичном поле Q( √ −𝑑) с нормами, которые сравнимы с 1 по модулю 𝑝𝑚. В данной статье мы получаем полиномиальные представления действительной и мномой честей степеней порождающего елемента 𝑢 + 𝑖𝑣 √ 𝑑 циклической группы 𝐸𝑚. Эти представления позволяют получить “корневые границы” экспоненциальной суммы в неравенстве Турана-Эрдёша-Коксмы. Также было построено новое симейство последовательностей псевдослучайных чисел, которые проходят сериальный тест на псевдослучайность.enimaginary quadratic fieldnorm grouppseudorandom numbersdiscrepancyуявне квадратичне поленорменна групапсевдовипадковi числадескрiпансiямнимое квадратичное поленорменная группапсевдослучайные числадескрипансияArticle