Огуленко, Олексій Павлович2018-05-212018-05-212018Огуленко, О. П. Асимптотичні методи дослідження динамічних систем на часових шкалах : автореф... канд. фіз.-мат. наук / О. П. Огуленко . – Одеса, 2018 . – 26 с.https://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/15501Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню динамiчних систем на часових шкалах без керування i з керуванням, зокрема обгрунтуванню для таких систем можливостi застосування рiзних схем методу усереднення та розробцi на їх основi чисельно–асимптотичного методу розв’язання задач оптимального керування динамiчними системами на часовiй шкалi. Окремо дослiджувались асимптотичнi властивостi розв’язкiв побудованої моделi реального процесу на часовiй шкалi. В роботi доведено теореми про можливiсть застосування методу усереднення для динамiчних систем на часових шкалах загального вигляду, згiдно з якими вiдповiднi усередненi системи автономними або частково усередненими. Цi результати є новими та вперше отриманими за умови, що усереднена система ма№ ту ж природу, що i вихiдна, та визначена на тiй самiй часовiй шкалi. У тривiальних випадках, коли шкала спiвпадає з R або Z, отриманi результати збiгаються з вiдомими результатами про усереднення диференцiальних рiвнянь на неперервному та дискретному часi. Для динамiчних систем на часовiй шкалi загального вигляду результати є новими та вперше отриманими за умови, що усереднена система має ту ж природу, що i вихiдна, та визначена на тiй самiй часовiй шкалi. Принципове обмеження, яке виника№ при об рунтуваннi методу усереднення для таких систем це умова на функцiю зернистостi шкали: вона не повинна мати точок згущення. Але завдяки властивостям -розбиття часового промiжку, яке є ключовим iнструментом в доведеннi теорем, вдалося обiйти це обмеження. Для -перiодичних систем запропонована схема усереднення, яка дає лiнiйну вiдносно малого параметра оцiнку близькостi розв’язкiв вихiдної та усередненої систем. Завдяки введенню поняття геометрично -квазiперiодичної функцiї на шкалi описано клас динамiчних систем, для яких застосування методу усереднення набува№ особливо зручного вигляду, при цьому зберiгається лiнiйна залежнiсть похибки методу вiд малого параметра. Використовуючи принцип iндукцiї на часовiй шкалi, для необмежених зверху шкал доведено аналог теореми Банфi Фiлатова, яка стверджує, що близькiсть розв’язкiв вихiдної та усередненої систем зберiгається на нескiнченно довгому промiжку часу, за умови, що розв’язок усередненої системи є асимптотично стiйким. Вперше для керованих динамiчних систем на часовiй шкалi з малимпараметром об рунтовано метод усереднення та запропоновано алгоритм вiдповiдностi керувань вихiдної та усередненої систем. На його основi розроблений чисельно–асимптотичний метод розв’язання задачi оптимального керування динамiчною системою на часовiй шкалi з термiнальним та векторним критерi№м якостi, згiдно з яким керування вихiдної системи, побудоване за алгоритмом вiдповiдностi до оптимального керування усередненої задачi є асимптотично оптимальним. Тобто значення критерiя якостi вихiдної задачi оптимального керування на асимптотично оптимальному керуваннi вiдрiзня№ться вiд оптимального значення критерiя якостi на малу величину. Зауважимо, що розглянута постановка задачi керування дозволяє уникнути обмеження асимптотичної сталостi функцiї керування, яке виникає, коли керування входить лiнiйно в праву частину системи. В якостi iлюстрацiї застосування асимптотичних методiв до дослiдження систем на часових шкалах, побудовано модель розповсюдження iнформацiї в соцiальнiй мережi, засновану на принципi iмiтацiї найлiпшої поведiнки. Для отриманої динамiчної системи на часовiй шкалi встановленi умови iснування єдиного стану рiвноваги, умови його рiвномiрної асимптотичної стiйкостi та умови експоненцiйної стiйкостi. Дисертацiйна робота суттєво розширює класи задач, для розв’язання яких можна застосувати метод усереднення.The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sci- ences degree on the speciality 01.01.02 \Di erential equations". { I. I. Mech- nikov Odesa National University, Odesa, 2018. The dissertation is devoted to the research of dynamic systems on time scales both with and without control, including substantiation for such sys- tems the possibility of using di erent averaging schemes, construction the averaging method for controlled systems on time scales, construction the al- gorithm of correspondence between controls of the original and averaged sys- tems, and nally, substantiation the numerical-asymptotic method for the solution of the optimal control problem for dynamic system on time scale. Besides this, for one real-world process model, the asymptotic properties of the solutions were investigated. In the work, the theorems on the possibility of applying the averaging method for dynamical systems on time scales are proved. According to them, the corresponding averaged system is autonomous or partially averaged. In trivial cases, when the time scale is R or Z, obtained results coincide with the well-known ones for the di erential equations on a continuous and discrete time. For dynamical systems on time scale, our results are new and rst re- ceived, provided that the averaged system has the same nature as the original and is de ned on the same time scale. The main limitation that arises when substantiating the averaging method for such systems is the restriction on the graininess function: it should not have condensation points. By using the properties of -partition playing key role in the proves, we managed to avoid this restriction. We established the stronger version of the averaging theorem for -periodic systems with a small parameter and obtained a more accurate linear estimate for proximity between solutions of original and averaged systems. More- over, the same result was obtained for dynamic systems with a geometric -quasiperiodic right-hand side | a new concept introduced by us. It helped to determine a class of dynamical systems for which the usage of the averaging method takes a particularly comfortable look. Using induction principle we proved an analogue of Ban {Filatov theorem on averaging on an in nite interval, provided that the solution of an averaged system is asymptotically stable. Controlled dynamic systems with a small parameter on the time scale, as well as optimal control problems with terminal and vector quality criteria, are considered. The justi cation of the averaging method on the asymptot- ically large period of time and the algorithm correspondence between the controls of the original and averaged systems are presented. The numerical- asymptotic method for solving optimal control problems for dynamic systems on time scales is given. The control of the original system, built in accordance with the algorithm in correspondence to the optimal control of the averaged problem is asymptotically optimal. That is, the value of the original quality criteria for the asymptotically optimal control is little di erent from the opti- mal value. It should be noted that considered formulation of problem avoids the restriction of asymptotic constancy for control function, provided that the dynamic system is linear in regard to control variable. As an illustration of the application of asymptotic methods to the study of system on time scales, a model of information spreading in social networks was developed. The Imitation of Success principle was used as the base for this model. For corresponding dynamical system on time scale the conditions for the existence of a unique equilibrium state was obtained. Moreover, for the unique equilibrium state conditions of uniform asymptotic stability andexponentially asymptotic stability was obtained. The dissertation essentially extends the classes of problems for which the averaging method can be applied.Огуленко А. П. Асимптотические методы исследования динамических систем на временных шкалах. – Рукопись. Диссертация на соискание научной степени кандидата физико–мате- матических наук по специальности 01.01.02 ѕДифференциальные урав- ненияї. – Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, Одесса, 2018. Диссертационная работа посвящена исследованию динамических си- стем на временных шкалах без управления и с управлением, в частности, обоснованию для таких систем возможности применения различных схем усреднения и разработке на их основе численно–асимптотического мето- да решения задач оптимального управления динамическими системами на временной шкале. Отдельно исследовались асимптотические свойства решений построенной модели реального процесса на временной шкале. В работе доказаны теоремы о возможности применения метода усред- нения для динамических систем на временных шкалах общего вида, со- гласно которым соответствующие усредненные системы являются авто- номными или частично усредненными. Эти результаты являются новыми и впервые получены при условии, что усредненная система имеет ту же природу, что и исходная, и определена на той же временной шкале. В тривиальных случаях, когда шкала совпадает с R или Z, полученные ре- зультаты повторяют известные факты об усреднении дифференциальных уравнений, определенных на непрерывном и дискретном времени. Для динамических систем на временной шкалы общего вида результаты рабо- ты являются новыми и впервые получены при условии, что усредненная система имеет ту же природу, что и исходная, и определена на той же временной шкале. Принципиальное ограничение, возникающее при обосновании метода усреднения для таких систем это условие на функцию зернистости шка- лы: она не должна иметь точек сгущения. Однако благодаря свойствам - разбиения промежутка времени, являющегося ключевым инструментом в доказательствах теорем, это ограничение удалось обойти. Для -периодических систем предложена схема усреднения, дающая линейную относительно малого параметра оценку близости решения ис- ходной и усредненной систем. Благодаря введению понятия -квазипери- одической функции на шкале описан класс динамических систем, для ко- торых применение метода усреднения принимает особенно удобный вид, при этом сохраняется линейная зависимость погрешности метода от ма- лого параметра. Используя принцип индукции на временной шкале, для неограничен- ных сверху шкал доказан аналог теоремы БанфиФилатова, которая утверждает, что близость решений исходной и усредненной систем со- храняется на бесконечно длинном промежутке времени при условии, что решение усредненной системы является асимптотически устойчивым. Впервые для управляемых динамических систем на временных шка- лах с малым параметром обоснован метод усреднения и предложен ал- горитм соответствия управлений исходной и усредненной систем. На его основе разработан численно–асимптотический метод решения задачи оп- тимального управления динамической системой на временной шкале с терминальным и векторным критерием качества, в соответствии с кото- рым управление исходной системы, отвечающее оптимальному управле- нию усредненной задачи является асимптотически оптимальным. В работе построена теоретико-игровая модель распространения ин- формации в социальной сети, иллюстрирующая применение асимптотиче- ских методов к исследованию систем на временных шкалах. Для динами- ческой системы на временной шкале установлены условия существования единственного состояния равновесия, условия его равномерной асимпто- тической устойчивости и условия экспоненциальной устойчивости. Диссертационная работа существенно расширяет классы задач, для решения которых может быть применен метод усреднения. Ключевые слова: временная шкала, динамическая система, задача оп- тимального управления, малый параметр, метод усреднения, устойчи- вость, -периодическая функция, терминальный критерий качества, век- торный критерий качества, Парето–оптимальность.ukчасова шкаладинамiчна системазадача оптимального керуваннямалий параметрметод усередненнястiйкiстьперiодична функцiятермiнальний критерiй якостiвекторний критерiй якостiПарето–оптимальнiстьtime scaledynamic systemoptimal control problemsmall parameteraveraging methodstability-periodic functionterminal criteriavector criteriaPareto-optimalityвременная шкаладинамическая системазадача оптимального управлениямалый параметрметод усредненияустойчивостьпериодическая функциятерминальный критерий качествавекторный критерий качестваПарето–оптимальностьAutoreferates