Varbanets, Serhii P.Варбанець, Сергій ПавловичВарбанец, Сергей Павлович2017-03-312017-03-312016Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics : наук. журн.https://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/9623We apply the van der Corput transform to investigate the sums of view Σ︀𝑟(𝑛)𝑔(𝑛)𝑒(𝑓(𝑛))), where 𝑟(𝑛) is the number of representations of 𝑛 as the sum of two squares of integer numbers. Such sums have been studied by M. Jutila, O. Gunyavy, M. Huxley and etc. Depending of differential properties of the functions 𝑔(𝑛) and 𝑓(𝑛) there have been obtained the different kinds of error terms in bounds of the considered sums. In the special case, O. Gunyavy improved the result of M. Jutila in the problem on estimate the exponential sum involving the divisor function 𝜏 (𝑛). We obtain the asymptotic formula of the sum Σ︀ 𝜏(𝛼)𝑒 (︁𝑎/𝑞 𝑁(𝛼))︁ over the ring of Gaussian integers which is an analogue of the asymptotic formulas obtained by M. Jutila and O. Gunyavy.Ми застосовуємо перетворення Ван дер Корпута для дослiдження сум виду Σ︁𝑟(𝑛)𝑔(𝑛)𝑒(𝑓(𝑛)), де 𝑟(𝑛) є число зображень 𝑛 як суми двох квадратiв цiлих чисел. Такi суми вивчались М. Ютiлою, О. Гунявим, М. Хакслi та iн. Спираючись на властивостi диференцiювання функцiй 𝑔(𝑛) та 𝑓(𝑛), нами були отриманi рiзнi типи залишкових членiв на границях розглянутих сум. В спецiальному випадку О. Гунявий покращив результат М. Ютiли в проблемi оцiнювання тригонометричної суми вiд функцiї дiльникiв 𝜏 (𝑛). Ми отримуємо асимптотичну формулу для суми Σ︀ 𝜏(𝛼)𝑒(︁𝑎/𝑞 𝑁(𝛼))︁ над кiльцем цiлих гаусових чисел, яка є аналогом асимптотичних формул, отриманих М. Ютiлою та О. Гунявим.Мы применяем преобразование Ван дер Корпута для исследования сумм Σ︁𝑟(𝑛)𝑔(𝑛)𝑒(𝑓(𝑛)), где 𝑟(𝑛) есть число представлений 𝑛 в виде суммы двух квадратов целых чисел. Такие суммы изучались М. Ютилой, О. Гунявым, М. Хаксли и др. Опираясь на свойства дифференцирования функций 𝑔(𝑛) и 𝑓(𝑛), нами были получены различные типы остаточных членов на границах рассматриваемых сумм. В специальном случае О. Гунявый улучшил результат М. Ютилы в проблеме оценки тригонометрической суммы от функции делителей 𝜏 (𝑛). Мы получаем асимптотическую формулу для Σ︀𝜏(𝛼)𝑒(︁𝑎/𝑞𝑁(𝛼))︁ над кольцом целых гауссовых чисел, являющуюся аналогом асимптотических формул, полученных М. Ютилой и О. Гунявым.enexponential sumdiscrepancyтригонометричнi сумитригонометрические суммыArticle