Євтухов, В'ячеслав МихайловичГолубєв, С. В.Yevtukhov, Viacheslav M.Golubev, S. V.2024-06-082024-06-082023Євтухов В. М. Асимптотична поведінка розв’язків двочленних діференціальних рівнянь з експоненційною нелінійністю / В. М. Євтухов, С. В. Голубєв // Дослідження в математиці і механіці. – 2023. – Т. 28, вип. 1–2(41–42). – С. 15–26.2519-206Xhttps://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/38319Для двочленого неавтономного звичайного диференцiального рiвняння четвертого порядку з експоненцiальною нелiнiйнiстю виду y(4) = α0p0(t)[1 + r(t)]eσy де α0 ∈ {−1,1}, σ ≠ 0, функцiя p0(t) є неперервною або неперервно диференцiйованою i вiдмiнною вiд нуля у деякому лiвому околi ω (ω ≤ +∞), r(t) непрервна функцiя така, що limt↑ωr(t) = 0, дослiджується асимптотична поведiнка при t↑ω одного класу Pω(Y0, λ0)-розв’язкiв. Для цього рiвняння в роботi [1] були отриманi необхiднi та достатнi умови iснування таких ровязкiв в випадку коли λ0 ∈ R∖ {0, 1/2, 2/3, 1}. При цьому доведення достатнiх умов iснування було здiйснено при деяких додаткових умовах якi є достатьно жорсткими. Мета даної роботи це спроба покращити результати отриманi в роботi [1] для достатнiх умов iснування. Зроблена спроба поширення результатiв цiєї роботи на умови якi є меньш жорсткими. На вiдмiну вiд [1] при доведеннi основного результату в цiй роботi передбачається, що iснує скiнченна або нескiнченна границя limt↑ω πω(t)q’(t). Дослiджуване рiвняння зводиться до системи рiвнянь, для якої потрiбно визначити iснування зникаючих у нескiнченностi розв’язкiв. Цей факт встановлюється з використанням вiдомих результатiв з роботи [2]. Разом з цим отримана вiдповiдь на питання про кiлькiсть розв’язкiв рiвняння зi знайденими асимптотичними зображеннями.For a two-term nonautonomous ordinary differential equation of the fourth order with an exponential nonlinearity of the form y(4) = α0p0(t)[1 + r(t)]eσy where α0 ∈ {−1,1}, σ ≠ 0, the function p0(t) is continuous or continuously differentiable and nonzero in some left neighbourhood of ω (ω ≤ +∞), r(t) is a continuous function such that limt↑ωr(t) = 0, the asymptotic behaviour at t↑ω of one class of Pω(Y0, λ0)-solutions is studied. For this equation, in [1], the necessary and sufficient conditions for the existence of such solutions were obtained in the case when λ0 ∈ R∖ {0, 1/2, 2/3, 1}. The proof of sufficient conditions for existence was carried out under some additional conditions that are quite strict. The aim of this paper is to improve the results obtained in [1] for sufficient conditions of existence. An attempt is made to extend the results of this paper to conditions that are less stringent. In contrast to [1], the proof of the main result in this paper assumes that there is a finite or infinite limit limt↑ω πω(t)q’(t). The equation under study is reduced to a system of equations for which it is necessary to determine the existence of solutions vanishing at infinity. This fact is established using the known results of [2]. The question of the number of solutions of the equation with the found asymptotic images is also solved.ukнеавтономнi диференцiальнi рiвнянняекспоненцiальна нелiнiйнiстьPω(Y0, λ0)-розв’язкиасимптотична поведiнка Pω(Y0, λ0)-розв’язківnon-autonomous differential equationsexponential nonlinearityPω(Y0, λ0)-solutionsasymptotic behavior of Pω(Y0, λ0)-solutionsArticlehttps://doi.org/10.18524/2519-206X.2023.1-2(41-42).305248517.925https://orcid.org/0000-0002-3783-5162