Евтухов, Вячеслав МихайловичКлопот, Александр МихайловичЄвтухов, В'ячеслав МихайловичКлопот, Олександр МихайловичYevtukhov, Viacheslav M.Klopot, Olexandr M.2017-03-312017-03-312016Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics : наук. журн.https://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/9609При изучении нелинейных неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений одними из важнейших являются вопросы о наличии у них правильных и сингулярных первого и второго рода решений, в частности, так называемых, «взрывных решений» (по терминологии И. Т. Кигурадзе). В настоящей работе для дифференциального уравнения 𝑦(𝑛) = Σ︀𝑚𝑘=1 𝛼𝑘𝑝𝑘(𝑡)×Π︀𝑛−1 𝑗=0 𝜙𝑘𝑗(𝑦(𝑗)), где 𝛼𝑘 ∈ {−1; 1} (𝑘 = 1,𝑚), 𝑝𝑘 : [𝑎, 𝜔[−→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚) — непрерывные функции, 𝜙𝑘𝑗 : △𝑌𝑗 −→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚; 𝑗 =0, 𝑛 − 1) — непрерывные и правильно меняющиеся при 𝑦(𝑗) −→ 𝑌𝑗 , −∞ < 𝑎 < 𝜔 6 +∞,△𝑌𝑗 — односторонняя окрестность 𝑌𝑗 , 𝑌𝑗 равно либо 0, либо ±∞, устанавливаются условия существования сингулярных 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)–решений, которые содержатся в классе сингулярных решений первого и второго рода, а также асимптотических представлений для таких решений и их производных до порядка 𝑛 − 1 включительно.При дослiдженнi нелiнiйних неавтономних звичайних диференцiальних рiвнянь одними з найважливiших є питання про наявнiсть в них правильних та сингулярних розв’язкiв першого та другого роду, зокрема, так званих «вибухових розв’язкiв» (за термiнологiєю I. Т. Кiгурадзе). В цiй роботi для диференцiального рiвняння 𝑦(𝑛) = Σ︀𝑚 𝑘=1 𝛼𝑘𝑝𝑘(𝑡)×Π︀𝑛−1 𝑗=0 𝜙𝑘𝑗(𝑦(𝑗)), де 𝛼𝑘 ∈ {−1; 1} (𝑘 = 1,𝑚), 𝑝𝑘 : [𝑎, 𝜔[−→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚) — неперервнi функцiї, 𝜙𝑘𝑗 : △𝑌𝑗 −→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚; 𝑗 = 0, 𝑛 − 1) — неперервнi та такi, що правильно змiнюються при 𝑦(𝑗) −→ 𝑌𝑗 , −∞ < 𝑎 < 𝜔 6 +∞, △𝑌𝑗 — одностороннiй окiл 𝑌𝑗 , 𝑌𝑗 дорiвнює або 0, або ±∞, встановлюються умови iснування сiнгулярних 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)–розв’язкiв, що мiстяться в класi сiнгулярних розв’язкiв першого та другого роду, а також асимптотичних представлень для таких розв’язкiв та їх похiдних до порядку 𝑛 − 1 включно.In the study of non-linear non-autonomous ordinary differential equations, one of the most important questions are existence of regular and singular solutions of the first and second kind, particularly, so-called ¡¡explosive solutions¿¿ (in the terminology by I. T. Kiguradze [1]). This paper deals with the differential equation 𝑦(𝑛) = Σ︀𝑚 𝑘=1 𝛼𝑘𝑝𝑘(𝑡)хΠ︀𝑛−1 𝑗=0 𝜙𝑘𝑗(𝑦(𝑗)), where 𝛼𝑘 ∈ {−1; 1} (𝑘 = 1,𝑚), 𝑝𝑘 : [𝑎, 𝜔[−→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚) are continuous functions, 𝜙𝑘𝑗 : △𝑌𝑗 −→]0,+∞[ (𝑘 = 1,𝑚; 𝑗 = 0, 𝑛 − 1) are continuous and regularly varying functions subject to 𝑦(𝑗) −→ 𝑌𝑗 , −∞ < 𝑎 < 𝜔 6 +∞, △𝑌𝑗 is an one-sided neighborhood of 𝑌𝑗 , 𝑌𝑗 equals either 0 or ±∞. We establish existence conditions of singular 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)–solutions, which are contained in the class of singular solutions of first and second kind as well as the asymptotic representations of such solutions and their derivatives up to 𝑛 − 1 order inclusively.ruправильно меняющиеся функциинелинейные дифференциальные уравненияправильные и сингулярные решениясингулярные 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)-решенияасимптотические представления решенийфункцiї, що змiнюються правильнонелiнiйне диференцiальне рiвнянняправильнi та сингулярнi розв’язкисингулярнi 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)–розв’язкиасимптотичнi представлення розв’язкiвregularly varying functionsnon-linear differential equationsregular and singular solutionssingular 𝑃𝑡* (𝑌0, 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛−1, 𝜆0)-solutionsasymptotic representations of the solutionsArticle