Євтухов, В’ячеслав МихайловичКольцова, Лілія ЛеонідівнаEvtukhov, Viacheslav M.Koltsova, Liliia L.2025-11-052025-11-052024Євтухов В. М. Асимптотика неявних функцій на необмежених областях / В. М. Євтухов, Л. Л. Кольцова // Дослідження в математиці і механіці. – 2024. – Т. 29, вип. 1(43). – С. 7–13.2519-206Xhttps://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/43001Досліджуються властивості неявної функції, заданої рівнянням F(t, x1, ..., xn, y) = 0 у необмеженій області при t → +∞ та малих значеннях інших змінних. Ця стаття є узагальненням одного з результатів роботи [1] на багатовимірний випадок та доповнюють результати робіт [2], [3]. Доведено теорему існування та єдиності неперервної функції y = y(t, x1, ..., xn, y), яка має неперервні частинні похідні по змінним x1, ..., xn. Встановлено ключову асимптотичну властивість y(t, 0, ..., 0) ∼ − F(t, 0, ..., 0) / F′y(t, 0, ..., 0) при t → +∞. Отримані результати є фундаментальними для асимптотичного аналізу розв’язків диференціальних рівнянь з сингулярностями на нескінченності та можуть знайти застосування в теорії динамічних систем і нелінійних коливань.The properties of an implicit function defined by the equation F(t, x1,..., xn, y) = 0 in an unbounded domain as t → +∞ and for small values of the other variables are investigated. This article generalizes one of the results of [1] to the multidimensional case and supplements the results of the works [2], [3]. A theorem on the existence and uniqueness of a continuous function y = y(t, x1, ..., xn, y) with continuous partial derivatives with respect to the variables x1, ..., xn is proved. The key asymptotic property y(t, 0, ..., 0) ∼ − F(t, 0, ..., 0) / F′y(t, 0, ..., 0) as t → +∞ is established. The obtained results are fundamental for the asymptotic analysis of solutions to differential equations with singularities at infinity and can find applications in the theory of dynamical systems and nonlinear oscillations.ukнеявна функціянеобмежена областьасимптотична поведінкасингулярністьдиференціальні рівнянняimplicit functionunbounded domainasymptotic behaviorsingularitydifferential equationsArticlehttps://doi.org/10.18524/2519-206X.2024.1(43).342062517.925https://orcid.org/0009-0000-2458-7887https://orcid.org/0009-0005-1133-676X