Корепанова, Екатерина СергеевнаКорепанова, Катерина СергіївнаKorepanova, Ekaterina S.2018-01-262018-01-262017Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics : наук. журн.https://dspace.onu.edu.ua/handle/123456789/12570В настоящей работе для двучленного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения 𝑛-го порядка с правильно меняющимися нелинейностями устанавливаются условия существования решений, для которых существует 𝑘 P t3, . . . , 𝑛u такое, что p𝑛 𝑘q-я производная решения стремится к отличной от нуля константе при стремлении аргумента к 􀀀8, а также асимптотические представления их производных до порядка 𝑛 1 включительно. При изучении данного вопроса возникают проблемы с установлением асимптотики p𝑛 𝑘 􀀀 1q–й и последующих производных решения. В связи с этим вводится класс, так называемых, 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–решений, где 8 ¤ 𝜆0 ¤ 􀀀8, и исследуется вопрос о наличии и асимптотике 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–решений в особых случаях, когда 𝜆0 𝑛 𝑗 1 𝑛 𝑗 , 𝑗 𝑛 𝑘 􀀀 2,𝑛 1. Все остальные неособые случаи были исследованы в предыдущих работах автора. Полученные результаты существенно дополняют исследования о существовании решений такого вида в монографии И. Т. Кигурадзе и Т. А. Чантурия для уравнений общего вида и дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера, в которых накладывается достаточно жесткое ограничение на p𝑛 𝑘 􀀀 1q–ю производную решения. MSC: 34D05, 34C11.В роботi для двочленного неавтономного звичайного диференцiального рiвняння 𝑛- го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями встановлюються ознаки iснування розв’язкiв, для яких iснує 𝑘 P t3, . . . , 𝑛u таке, що p𝑛 𝑘q-а похiдна розв’язку прямує до вiдмiнної вiд нуля сталої при прямуваннi аргументу до 􀀀8, а також асимптотичнi зображення їх похiдних до порядку 𝑛 1 включно. При досiдженнi даного питання виникають проблеми з встановленням асимптотики p𝑛 𝑘 􀀀 1q–ї та наступних похiдних розв’язку. У зв’язку з цим вводиться клас, так званих, 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–розв’язкiв, де 8 ¤ 𝜆0 ¤ 􀀀8, та дослiджується питання про наявнiсть та асимптотику 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q– розв’язкiв в особливих випадках, коли 𝜆0 𝑛 𝑗 1 𝑛 𝑗 , 𝑗 𝑛 𝑘 􀀀 2,𝑛 1. Усi iншi неособливi випадки були дослiдженi у попереднiх роботах автора. Отриманi результати суттєво доповнюють дослiдження про iснування розв’язкiв такого вигляду в монографiї I. Т. Кiгурадзе та Т. А. Чантурiя для рiвнянь загального вигляду та диференцiальних рiвнянь типу Емдена-Фаулера, в яких забезпечується достатньо жорстке обмеження на p𝑛 𝑘 􀀀 1q–у похiдну розв’язку.In the present paper the existence conditions of solutions, for each of which there exists a number 𝑘 P t3, . . . , 𝑛u such that p𝑛 𝑘q-th derivative of solution tends to nonzero constant as the argument tends to 􀀀8, of a binomial non-autonomous 𝑛-th order ordinary differential equation with regularly varying nonlinearities and the asymptotic representations of their derivatives of order up to 𝑛 1 are established. During the investigation of this question the problems with the asymptotics of p𝑛 𝑘􀀀1q–st and the subsequent derivatives of order ¤ 𝑛 1 are arose. As a result, the class of so-called 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–solutions, where 8 ¤ 𝜆0 ¤ 􀀀8, is introduced and the question of existence and asymptotics of 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–solutions in singular cases, when 𝜆0 𝑛 𝑗 1 𝑛 𝑗 , 𝑗 𝑛 𝑘 􀀀 2,𝑛 1, is considered. All other nonsingular cases have been studied in the previous author’s works. These results are essentially complement the research concerning the existence of such solutions in the monograph by I. T. Kiguradze and T. A. Chanturiya for the equations of general type and the differential equations of Emden-Fauler type, where a considerably strict restriction to the p𝑛 𝑘􀀀1q-st derivative of solution is provided for.ruнелинейные дифференциальные уравнениявысший порядокправильно меняющиеся нелинейностикласс 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–решенийусловия существованияасимптотика решенийнелiнiйнi диференцiальнi рiвняннявищий порядокправильно змiннi нелiнiйностiклас 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–розв’язкiвумови iснуванняасимптотика розв’язкiвnonlinear differential equationshigher orderregularly varying nonlinearitiesclass of 𝒫𝑘 􀀀8p𝜆0q–solutionsexistence conditionsasymptotics of solutionsArticle