Newton’s method for the eigenvalue problem of a symmetric matrix
Дата
2020
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
Номер ISSN
Номер E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
Newton’s method for calculating the eigenvalue and the corresponding eigenvector of a symmetric
real matrix is considered. The nonlinear system of equations solved by Newton’s
method consists of an equation that determines the eigenvalue and eigenvector of the matrix
and the normalization condition for the eigenvector. The method allows someone to simultaneously
calculate the eigenvalue and the corresponding eigenvector. Initial approximations
for the eigenvalue and the corresponding eigenvector can be found by the power method or
by the reverse iteration with shift. A simple proof of the convergence of Newton’s method
in a neighborhood of a simple eigenvalue is proposed. It is shown that the method has a
quadratic convergence rate. In terms of computational costs per iteration, Newton’s method
is comparable to the reverse iteration method with the Rayleigh ratio. Unlike reverse iteration,
Newton’s method allows to compute the eigenpair with better accuracy.
Розглянуто метод Ньютона обчислення власного значення та вiдповiдного власного вектора дiйсної симетричної матрицi. Нелiнiйна система рiвнянь, яка розв’язується методом Ньютона, складається з рiвняння, що визначає власне значення i власний вектор матрицi, та умови нормування власного вектора. Метод дозволяє одночасно обчислювати власне значення i вiдповiдний власний вектор. Початковi наближення для власного значення i вiдповiдного власного вектора можна знайти степеневим методом або методом зворотної iтерацiї зi зсувом. Запропоновано простий доказ збiжностi методу Ньютона в околицi простого власного значення. Показано, що метод має квадратичну швидкiсть збiжностi. За обчислювальними витратами на одну iтерацiю метод Ньютона можна порiвняти з методом зворотної iтерацiї з вiдношенням Релея. На вiдмiну вiд зворотної iтерацiї, метод Ньютона дозволяє обчислити власну пару з бiльшою точнiстю.
Рассмотрен метод Ньютона вычисления собственного значения и соответствующего соб- ственного вектора симметричной вещественной матрицы. Нелинейная система уравнений, решаемая методом Ньютона, состоит из уравнения определяющего собственное значение и собственный вектор матрицы и условия нормировки собственного вектора. Метод позволяет одновременно вычислять собственное значение и соответствующий собственный вектор. Начальные приближения для собственного значения и соответствующего собственного вектора можно найти степенным методом или обратной итерацией со сдвигом. Предложено простое доказательство сходимости метода в окрестности простого собственного значения. Показано, что метод обладает квадратичной скоростью сходимости. По вычислительным затратам на одну итерацию метод Ньютона сравним с методом обратной итерации с отношением Релея. В отличие от обратной итерации, метод Ньютона позволяет вычислять собственную пару с большей точностью.
Розглянуто метод Ньютона обчислення власного значення та вiдповiдного власного вектора дiйсної симетричної матрицi. Нелiнiйна система рiвнянь, яка розв’язується методом Ньютона, складається з рiвняння, що визначає власне значення i власний вектор матрицi, та умови нормування власного вектора. Метод дозволяє одночасно обчислювати власне значення i вiдповiдний власний вектор. Початковi наближення для власного значення i вiдповiдного власного вектора можна знайти степеневим методом або методом зворотної iтерацiї зi зсувом. Запропоновано простий доказ збiжностi методу Ньютона в околицi простого власного значення. Показано, що метод має квадратичну швидкiсть збiжностi. За обчислювальними витратами на одну iтерацiю метод Ньютона можна порiвняти з методом зворотної iтерацiї з вiдношенням Релея. На вiдмiну вiд зворотної iтерацiї, метод Ньютона дозволяє обчислити власну пару з бiльшою точнiстю.
Рассмотрен метод Ньютона вычисления собственного значения и соответствующего соб- ственного вектора симметричной вещественной матрицы. Нелинейная система уравнений, решаемая методом Ньютона, состоит из уравнения определяющего собственное значение и собственный вектор матрицы и условия нормировки собственного вектора. Метод позволяет одновременно вычислять собственное значение и соответствующий собственный вектор. Начальные приближения для собственного значения и соответствующего собственного вектора можно найти степенным методом или обратной итерацией со сдвигом. Предложено простое доказательство сходимости метода в окрестности простого собственного значения. Показано, что метод обладает квадратичной скоростью сходимости. По вычислительным затратам на одну итерацию метод Ньютона сравним с методом обратной итерации с отношением Релея. В отличие от обратной итерации, метод Ньютона позволяет вычислять собственную пару с большей точностью.
Опис
Ключові слова
Newton’s method, eigenvalue, symmetric matrix, reverse iteration, Метод Ньютона, власне значення, симетрична матриця, зворотна iтерацiя, собственное значение, симметричная матрица, обратная итерация
Бібліографічний опис
Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics