Алгебры, порожденные теплицевыми операторами со специальными символами
Вантажиться...
Дата
2019
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
Номер ISSN
Номер E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
Автор благодарен Н. Л. Василевскому за постановку задачи и полезное
обсуждение результатов.
Рассматривается весовое пространство Бергмана 𝒜2
𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) в области Зигеля
𝐷𝑛, состоящее из аналитических функций пространства 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), где
𝑑𝜇𝜆 =
𝑐𝜆
4
(︁
Im 𝑧𝑛 −
⃒⃒
𝑧′⃒⃒
2
)︁𝜆
𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 =
Γ(𝑛 + 𝜆 + 1)
𝜋𝑛Γ(𝜆 + 1)
,
𝑑𝜈(𝑧) – стандартная мера Лебега в C𝑛. Описана структура 𝒜2
𝜆 (𝐷𝑛). Именно, простран-
ство 𝒜2
𝜆 (𝐷𝑛) можно рассаматривать (с точностью до изометрического изоморфизма 𝑅)
в виде прямого интеграла
∫︁⊕
R+
𝐹2
2𝜉
(︀
C𝑛−1)︀
𝑑𝜉
пространства Фока 𝐹2
2𝜉
(︀
C𝑛−1)︀
, состоящего из аналитических функций пространства
𝐿2
(︀
C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼
)︀
(𝛼 = 2𝜉), где 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) =
(︀𝛼
𝜋
)︀𝑛−1 e−𝛼|𝑧′|2
𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Ис-
пользуя оператор 𝑅, доказано, что каждый теплицевый оператор 𝑇𝑎 со специальным
ограниченным символом 𝑎(𝑧) = 𝑎
(︁
Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2
)︁
, действующий в пространстве 𝒜2
𝜆 (𝐷𝑛),
унитарно эквивалентен прямому интегралу от оператора умножения 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, действующему в пространстве Фока 𝐹2
2𝜉
(︀
C𝑛−1)︀
, 𝜉 ∈ R+. Функция 𝛾𝑎(𝜉) определяется формулой
𝛾𝑎(𝜉) =
(2𝜉)𝜆+1
Γ(𝜆 + 1)
∫︁
R+
𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣.
Отсюда вытекает, что 𝐶*-алгебра, порожденная таким оператором, коммутативна. По-
казано, что 𝐶*-алгебра, порожденная теплицевыми операторами 𝑇𝑎 и 𝑇𝑏, где
𝑎 = 𝑎
(︁
Im 𝑧𝑛 −
⃒⃒
𝑧′⃒⃒
2
)︁
∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏
(︀
𝑧′)︀
∈ 𝐿∞
(︀
C𝑛−1)︀
,
коммутативна тогда и только тогда, когда для каждого 𝜉 ∈ R+ алгебра, порожденная
теплицевыми операторами 𝑇2𝜉
𝑏 , действующими в пространстве 𝐹2
2𝜉
(︀
C𝑛−1)︀
, коммутативна.
MSC: 47B35, 47L80, 47G10, 32A36.
Розглядається ваговий простiр Бергмана 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) в областi Зiгеля 𝐷𝑛, який складається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), де 𝑑𝜇𝜆 = 𝑐𝜆 4 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒ ⃒2 )︁𝜆 𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 = Γ(𝑛 + 𝜆 + 1) 𝜋𝑛Γ(𝜆 + 1) , 𝑑𝜈(𝑧) – стандартна мiра Лебега в C𝑛. Описана структура 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛). А саме, простiр 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) можна розглядати (з точнiстю до iзометричного iзоморфiзму 𝑅) у виглядi прямого iнтегралу ∫︁⊕ R+ 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ 𝑑𝜉 простору Фока 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , який скадається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2 (︀ C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼 )︀ (𝛼 = 2𝜉), де 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) = (︀𝛼 𝜋 )︀𝑛−1 e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Використовуючи оператор 𝑅, доведено, що кожний теплицевий оператор 𝑇𝑎 iз спецiальним обмеженим символом 𝑎(𝑧) = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2 )︁ , який дiє у просторi 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛), унiтарно еквiвалентний прямому iнтегралу вiд оператора множення 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, що дiє в просторi Фока 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , 𝜉 ∈ R+. Функцiя 𝛾𝑎(𝜉) означається за формулою 𝛾𝑎(𝜉) = (2𝜉)𝜆+1 Γ(𝜆 + 1) ∫︁ R+ 𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣. Звiдси випливає, що 𝐶*-алгебра, яка породжена такими теплицевими операторами, комутативна. Показано, що 𝐶*-алгебра, яка породжена теплицевими операторами 𝑇𝑎 i 𝑇𝑏, де 𝑎 = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁ ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏 (︀ 𝑧′)︀ ∈ 𝐿∞ (︀ C𝑛−1)︀ , комутативна тодi i лише тодi, коли для кожного 𝜉 ∈ R+ алгебра, яка породжена теплицевими операторами 𝑇2𝜉 𝑏 , що дiють у просторi 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , комутативна.
We concider the weighted Bergman space 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) in the Siegel domain 𝐷𝑛, which consist of analytic functions of the space 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), where 𝑑𝜇𝜆 = 𝑐𝜆 4 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁𝜆 𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 = Γ(𝑛 + 𝜆 + 1) 𝜋𝑛Γ(𝜆 + 1) , 𝑑𝜈(𝑧) – is standard Lebesgue measure in C𝑛. We discribe the structure of 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛). A jast nemely, we can consider the space 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (up to isometric isomorphism 𝑅) as a direct integral ∫︁⊕ R+ 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ 𝑑𝜉 of the Fock space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , which consist of analytic functions of the space 𝐿2 (︀ C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼 )︀ (𝛼 = 2𝜉), where 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) = (︀𝛼 𝜋 )︀𝑛−1 e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Using the operator 𝑅, we prove that each Toeplitz operator 𝑇𝑎 with special bounded symbol 𝑎(𝑧) = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2 )︁ , and acting on 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛), is unitary equivalent to the direct integral of the multiplication operator 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, acting on Fock space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , 𝜉 ∈ R+. The function 𝛾𝑎(𝜉) is given by formula 𝛾𝑎(𝜉) = (2𝜉)𝜆+1 Γ(𝜆 + 1) ∫︁ R+ 𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣. This implies that the 𝐶*-algebra generated by such operators is commutative. We show that the 𝐶*-algebra generated by Toeplitz operators 𝑇𝑎 and 𝑇𝑏, where 𝑎 = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁ ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏 (︀ 𝑧′)︀ ∈ 𝐿∞ (︀ C𝑛−1)︀ , is commutative if and only if for each 𝜉 ∈ R+ algebra generated by Toeplitz operator 𝑇2𝜉 𝑏 , acting on the space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , is commutative.
Розглядається ваговий простiр Бергмана 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) в областi Зiгеля 𝐷𝑛, який складається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), де 𝑑𝜇𝜆 = 𝑐𝜆 4 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒ ⃒2 )︁𝜆 𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 = Γ(𝑛 + 𝜆 + 1) 𝜋𝑛Γ(𝜆 + 1) , 𝑑𝜈(𝑧) – стандартна мiра Лебега в C𝑛. Описана структура 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛). А саме, простiр 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) можна розглядати (з точнiстю до iзометричного iзоморфiзму 𝑅) у виглядi прямого iнтегралу ∫︁⊕ R+ 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ 𝑑𝜉 простору Фока 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , який скадається з аналiтичних функцiй простору 𝐿2 (︀ C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼 )︀ (𝛼 = 2𝜉), де 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) = (︀𝛼 𝜋 )︀𝑛−1 e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Використовуючи оператор 𝑅, доведено, що кожний теплицевий оператор 𝑇𝑎 iз спецiальним обмеженим символом 𝑎(𝑧) = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2 )︁ , який дiє у просторi 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛), унiтарно еквiвалентний прямому iнтегралу вiд оператора множення 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, що дiє в просторi Фока 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , 𝜉 ∈ R+. Функцiя 𝛾𝑎(𝜉) означається за формулою 𝛾𝑎(𝜉) = (2𝜉)𝜆+1 Γ(𝜆 + 1) ∫︁ R+ 𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣. Звiдси випливає, що 𝐶*-алгебра, яка породжена такими теплицевими операторами, комутативна. Показано, що 𝐶*-алгебра, яка породжена теплицевими операторами 𝑇𝑎 i 𝑇𝑏, де 𝑎 = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁ ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏 (︀ 𝑧′)︀ ∈ 𝐿∞ (︀ C𝑛−1)︀ , комутативна тодi i лише тодi, коли для кожного 𝜉 ∈ R+ алгебра, яка породжена теплицевими операторами 𝑇2𝜉 𝑏 , що дiють у просторi 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , комутативна.
We concider the weighted Bergman space 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (𝜆 > −1) in the Siegel domain 𝐷𝑛, which consist of analytic functions of the space 𝐿2 (𝐷𝑛, 𝑑𝜇𝜆), where 𝑑𝜇𝜆 = 𝑐𝜆 4 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁𝜆 𝑑𝜈(𝑧), 𝑐𝜆 = Γ(𝑛 + 𝜆 + 1) 𝜋𝑛Γ(𝜆 + 1) , 𝑑𝜈(𝑧) – is standard Lebesgue measure in C𝑛. We discribe the structure of 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛). A jast nemely, we can consider the space 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛) (up to isometric isomorphism 𝑅) as a direct integral ∫︁⊕ R+ 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ 𝑑𝜉 of the Fock space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , which consist of analytic functions of the space 𝐿2 (︀ C𝑛−1, 𝑑𝜈𝛼 )︀ (𝛼 = 2𝜉), where 𝑑𝜈𝛼 (𝑧′) = (︀𝛼 𝜋 )︀𝑛−1 e−𝛼|𝑧′|2 𝑑𝜈 (𝑧′), 𝛼 ∈ R+, 𝑧′ ∈ C𝑛−1. Using the operator 𝑅, we prove that each Toeplitz operator 𝑇𝑎 with special bounded symbol 𝑎(𝑧) = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − |𝑧′|2 )︁ , and acting on 𝒜2 𝜆 (𝐷𝑛), is unitary equivalent to the direct integral of the multiplication operator 𝛾𝑎(𝜉)𝐼, acting on Fock space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , 𝜉 ∈ R+. The function 𝛾𝑎(𝜉) is given by formula 𝛾𝑎(𝜉) = (2𝜉)𝜆+1 Γ(𝜆 + 1) ∫︁ R+ 𝑎(𝑣)e−2𝜉𝑣𝑣𝜆 𝑑𝑣. This implies that the 𝐶*-algebra generated by such operators is commutative. We show that the 𝐶*-algebra generated by Toeplitz operators 𝑇𝑎 and 𝑇𝑏, where 𝑎 = 𝑎 (︁ Im 𝑧𝑛 − ⃒⃒ 𝑧′⃒⃒ 2 )︁ ∈ 𝐿∞ (R+) , 𝑏 = 𝑏 (︀ 𝑧′)︀ ∈ 𝐿∞ (︀ C𝑛−1)︀ , is commutative if and only if for each 𝜉 ∈ R+ algebra generated by Toeplitz operator 𝑇2𝜉 𝑏 , acting on the space 𝐹2 2𝜉 (︀ C𝑛−1)︀ , is commutative.
Опис
Ключові слова
пространство Бергмана, область Зигеля, унитарный оператор, сопряженный оператор, простiр Бергмана, область Зiгеля, унiтарний оператор, спряжений оператор, Bergman spaces, Siegel domain, the unitary operator, the adjoint operator
Бібліографічний опис
Дослідження в математиці і механіці = Researches in mathematics and mechanics