Про збiжнiсть узагальненого гармонiчного ряду при змiнi знакiв його доданкiв
Вантажиться...
Дата
2018
Науковий керівник
Укладач
Редактор
Назва журналу
ISSN
E-ISSN
Назва тому
Видавець
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
Анотація
У данiй роботi вивчається питання про збiжнiсть узагальненого гармонiчного ряду, у
якого змiненi знаки доданкiв. Для цього розглядається послiдовнiсь номерiв, на яких
вiдбувається перемикання знаку. Головним результатом є критерiй збiжностi узагальненого
гармонiчного ряду зi змiненими знаками в термiнах номерiв перемикання знаку.
Цей критерiй дозволяє зводити питання про збiжнiсть до дослiдження бiльш простого,
а саме, знакозмiнного ряду. Наведено кiлька прикладiв застосування отриманого
критерiю. Найбiльш цiкавим виявився приклад степеневого росту номерiв перемикання
знакiв, що обумовлено переходом до цiлих частин у випадку, коли показник степеня не
є натуральним. В роботi отриманi необхiдна та достатня умови збiжностi, але питання
не вирiшене в повному обсязi, оскiльки цi умови не збiгаються.
В данной работе изучается вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда, у которого изменены знаки слагаемых. Для этого рассматривается последовательность номеров, по которым происходит переключение знака. Главным результатом является критерий сходимости обобщенного гармонического ряда с измененными знаками в терминах номеров переключения знака. Этот критерий позволяет сводить вопрос о сходимости к исследованию более простого, а именно, знакочередующегося ряда. Приведено несколько примеров применения полученного критерия. Наиболее интересным оказался пример степенного роста номеров переключения знаков, что обусловлено переходом к целым частям в случае, когда показатель степени не является натуральным. В работе получены необходимое и достаточное условия сходимости, но вопрос не решен в полном объеме, поскольку эти условия не совпадают.
In this paper we study the question about convergence of the generalized harmonic series when the signs of its summands are changed. For this we consider the sequence of numbers where the sign is switched. The main result is the convergence criterion of a generalized harmonic series with changed signs in terms of the sign switching numbers. This criterion allows us to reduce the question of convergence to the study of a simpler, namely, sign alternating series. There are given several examples of the application of the obtained criterion. The most interesting was the example of a power growth of the sign switching numbers, because there is a transition to integer parts in the case when the exponent is not natural. Necessary and sufficient conditions for convergence are obtained, but the question is not solved in full, because these conditions do not coincide.
В данной работе изучается вопрос о сходимости обобщенного гармонического ряда, у которого изменены знаки слагаемых. Для этого рассматривается последовательность номеров, по которым происходит переключение знака. Главным результатом является критерий сходимости обобщенного гармонического ряда с измененными знаками в терминах номеров переключения знака. Этот критерий позволяет сводить вопрос о сходимости к исследованию более простого, а именно, знакочередующегося ряда. Приведено несколько примеров применения полученного критерия. Наиболее интересным оказался пример степенного роста номеров переключения знаков, что обусловлено переходом к целым частям в случае, когда показатель степени не является натуральным. В работе получены необходимое и достаточное условия сходимости, но вопрос не решен в полном объеме, поскольку эти условия не совпадают.
In this paper we study the question about convergence of the generalized harmonic series when the signs of its summands are changed. For this we consider the sequence of numbers where the sign is switched. The main result is the convergence criterion of a generalized harmonic series with changed signs in terms of the sign switching numbers. This criterion allows us to reduce the question of convergence to the study of a simpler, namely, sign alternating series. There are given several examples of the application of the obtained criterion. The most interesting was the example of a power growth of the sign switching numbers, because there is a transition to integer parts in the case when the exponent is not natural. Necessary and sufficient conditions for convergence are obtained, but the question is not solved in full, because these conditions do not coincide.
Опис
Ключові слова
збiжнiсть, узагальнений гармонiчний ряд, номери перемикання знаку, сходимость, обобщенный гармонический ряд, номера переключения знака, convergence, generalized harmonic series, numbers of sign switching
Бібліографічний опис
Дослiдження в математицi i механiцi